А.И.БОЛУТЕНКО
E-mail: bolutenko@mail.ru Физика стекла Главная
АННОТАЦИЯ
В упругих твёрдых телах рассмотрен
механизм разрыва химических связей, который представляет собой динамический
процесс. Показано, что в случае различных по прочности, жёсткости и
относительному удлинению связей существенную роль играет динамическая составляющая
силы, приводящей к разрыву связи. В упругих твёрдых телах, имеющих различные по
механическим характеристикам химические связи, полностью не используется
прочность всех связей. Поэтому прочность упругого твёрдого тела при растяжении
нельзя характеризовать как сумму прочностей химических связей поперечного
сечения.
Каждая химическая связь в твёрдом теле
характеризуется жёсткостью c и допустимым
напряжением на растяжение σ,
которыми определяется допустимое относительное удлинение связи ε. Эти величины связаны между собой
законом Гука:
σ = cε, (1)
где жёсткость c определяется геометрическими размерами связи
и её модулем упругости. Для единичной химической связи допустимое напряжение на
растяжение соответствует прочности связи.
В зависимости от строения электронных
оболочек атомов, вступающих в химическую связь, прочность связей может лежать в
широких пределах. При этом значения жёсткости и допустимого относительного
напряжения также могут варьироваться в зависимости от типа связи.
Рассмотрим разрыв химических связей в
твёрдом теле, для чего возьмём модельную систему из двух химических связей,
растягиваемых осесимметричной нагрузкой. Будем считать, что в рассматриваемой
системе не может происходить трансформации связей, то есть каждая из них при
растяжении деформируется в пределах упругости вплоть до разрыва. Так как
растягивающая сила действует только вдоль оси системы, допустим, что атомы
перемещаются поступательно лишь в направлении действующей силы, то есть упругая
система имеет одну степень свободы. Положим при этом, что возрастание нагрузки
на систему из двух химических связей вплоть до её разрушения происходит
квазистатически.
Независимо от значений жёсткости и
прочности в системе из двух химических связей при растяжении первой разорвётся
связь, имеющая меньшее допустимое относительное удлинение. В зависимости от
индивидуальных механических характеристик химических связей в системе возможны
следующие случаи:
1. Жёсткость одной связи больше жёсткости
второй, c1 › c2.
При этом допустимые
напряжения на растяжение и соответствующие им допустимые относительные
удлинения могут быть:
а ) σ1 › σ2 и ε1 › ε2
, ε1 = ε2
, ε1 ‹ ε2
;
б ) σ1 = σ2 и ε1 ‹ ε2 ;
в) σ1 ‹ σ2 и ε1 ‹ ε2 ;
2. Если жёсткость обоих связей равна,
c1 = c2, то:
а) σ1 › σ2 и ε1 › ε2 ;
б) σ1 = σ2 и ε1 = ε2 ;
Таким образом, возможны следующие соотношения между механическими
характеристиками системы из двух химических связей:
1. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 › ε2 ;
2. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 = ε2 ;
3. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 ‹ ε2 ;
4. c1 › c2 , σ1 = σ2 ε1 ‹ ε2 ;
5. c1 › c2 , σ1 ‹ σ2 ε1 ‹ ε2 ;
6. c1 = c2 , σ1 › σ2 ε1 › ε2 ;
7. c1 = c2 , σ1 = σ2 ε1 = ε2 .
Определим величину разрушающего усилия и
рассмотрим механизм разрушения в выбранной системе из двух химических связей
для всех возможных случаев варьирования жёсткости, допустимых напряжений на
растяжение и относительного удлинения связей.
1. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 › ε2 ;
В случае различной жёсткости химических
связей действующая на систему сила к моменту разрыва второй связи
распределяется между обеими связями Pί = Pί1 + P2 . Квазистатическое возрастание растягивающей
силы Pί приводит к
соответствующему увеличению напряжений в связях. При достижении во второй
связи, имеющей меньшее допустимое относительное удлинение ε2 , допустимого напряжения σ2 , вызванного силой
P2 ,
произойдёт её разрыв. Из условия равенства деформаций связей в системе в момент
разрыва второй связи по (1) и учитывая, что для химической связи P =
σ, определяем, что сила,
действующая на первую связь будет:
Pί1 = P2.* c1 / c2 . (2)
После разрыва второй связи сила P2 , которую она уравновешивала, мгновенно добавляется к
силе Pί1 . На
систему, состоящую после разрыва второй связи только из одной первой связи с
удлинением ε1 ,
действует статическая растягивающая сила:
Pί =
Pί1 + P2. = P2 [(c1 / c2 ) + 1]. (3)
C учётом того, что для единичной химической связи её
прочность на разрыв адекватна допустимому разрывному напряжению, (3)
можно записать как:
Pί =
σ2 [(c1 / c2 ) + 1]. (4)
Кроме статической силы Pί после разрыва второй связи на систему
действует динамическая сила, вызванная мгновенным приложением силы P2 . Таким образом, оставшаяся связь подвергается
дополнительной растягивающей нагрузке от добавления статической силы P2 и её
динамической составляющей.
В зависимости от величины статической
силы Pί ,
приложенной к первой связи, возможно, что:
а) если
Pί › σ1 , даже под действием статической силы Pί произойдёт разрыв первой химической связи;
б) если
Pί ‹ σ1 – связь может разорваться или сохранится её
целостность в зависимости от величины инерционной составляющей силы P2 .
Рассмотрим оба случая поведения первой
химической связи при разрыве второй.
1-а. При
Pί › σ1 первая связь разрушается после того, как
действующая на вторую связь сила достигает величины допустимых напряжений, то
есть P2 = σ2 .
Система из двух связей разрушается под действием статической силы Pί , когда она
достигает значения P1 ,
вызывающего допустимое напряжение в связи
σ1 , и удлинения
ε1 .
Следовательно, прочность системы из двух
химических связей в случае 1-а равна сумме напряжений в обеих связях в
момент, когда относительное удлинение системы достигает величины допустимого
относительного удлинения второй связи. Хотя разрыв первой химической связи
происходит под действием растягивающей силы
Pί ,
превышающей прочность связи σ1 ,
однако, при квазистатическом возрастании действующей силы в момент разрушения
системы первая химическая связь несёт меньшую нагрузку, чем допустимая.
Определим величину неиспользованной прочности первой связи. Неиспользованная
прочность PН первой связи равна разности допустимого
напряжения на растяжение и напряжения в ней в момент разрыва второй связи:
PН = σ1 –
σί1 = (ε1 –
ε2 ) c1 = (σ1 c2 – σ2 c1 )/ c2 .
Величина неиспользованной
прочности системы указывает, насколько слабее могла быть первая связь при такой
же жёсткости, чтобы обеспечить равную прочность связей. Разрушающая сила при
растяжении системы из двух связей на PН меньше суммы прочностей обеих связей:
Pί = σ1 + σ2 – PН .
1-б. Если
Pί ‹ σ1 , при разрыве
второй связи статическая сила, которая прикладывается к первой связи, не
способна разорвать первую связь. Для выяснения возможности разрыва первой связи
следует оценить величину инерционной силы, возникающей в системе во время
разрыва второй химической связи. Квазистатическое нагружение двух различных по
жесткости и силе абсолютно упругих химических связей вызывает в системе такую
деформацию на растяжение, что она становится равной удлинению второй связи ε2 . Вторая связь разрывается, при этом действующая на
систему сила Pί меньше
допустимого напряжения на растяжение первой связи. Происходит внезапное
нагружение первой связи силой, которой ранее была нагружена вторая связь.
Мгновенное приложение силы приводит к действию на первую химическую связь динамических
усилий – на систему кроме дополнительной статической силы действует ещё сила
инерции.
Рассмотрим одномерную динамическую задачу
механизма разрушения одной химической связи. Заменим химическую связь
эквивалентной механической моделью. Модель химической связи можно представить
подвешенной на жёсткой опоре упругой пружины с грузом на конце. Пружина
соответствует химической связи между атомами в твёрдом теле, а груз – мгновенно
добавляемой силе. После отклонения груза с массой m от положения равновесия он начинает
гармонические колебания вдоль пружины. Сила деформации пружины F зависит от величины удлинения: F = kx, где k –
коэффициент жёсткости, x –
величина удлинения.
На величину x пружина растягивается под действием силы mg, где g – ускорение силы тяжести. Решение этой классической
задачи механики приведено в работе [1]. При мгновенном приложении на первую
химическую связь статической силы P2 в результате разрыва второй химической связи
добавляется максимальная динамическая составляющая первой гармоники
колебаний PДИН:
P2
ДИН MAX = P2 . (5)
Суммарная сила, которая добавляется (PДОБ ) в первый,
наиболее опасный по растягивающим напряжениям полупериод колебаний к
статической силе Pί1 ,
действующая на первую химическую связь состоит из статической силы P2 и её
динамической составляющей по (5):
PДОБ = P2 + P2 ДИН MAX = 2 P2 . (6)
Таким образом, в системе из двух
химических связей при разрыве одной их них мгновенное приложение к другой связи
силы, приходящейся на разорванную связь, приводит к продольным колебаниям
второй связи. При этом в динамическом процессе максимальная сила, действующая
на оставшуюся связь, равна удвоенной статической силе, приходящейся на связь в
момент её разрыва.
С учётом динамической составляющей
суммарная сила Pί, действующая на первую
связь в случае 1-б по (3) с учётом (6)
будет:
Pί = Pί1 + PДОБ = Pί1 + 2 P2 = P2 [(c1 / c2 ) + 2].
По аналогии с (4) получим:
Pί =
σ2 [(c1 / c2 ) + 2]. (7)
Действующая на первую химическую связь
растягивающая сила Pί с учётом
добавленной силы 2 P2 может быть меньше допустимого напряжения на
разрыв σ1 или превышать его:
1. Pί › σ1 , 2. Pί ‹ σ1 .
1-б-1. Если Pί
› σ1 , произойдёт
разрушение всей системы, как в случае 1-а, при
Pί = Pί1 + P2 , когда P2 = σ2 .
Неиспользованная прочность первой связи в этом случае такая же, как и в
случае 1-а.
1-б-2. Если Pί ‹ σ1 ,
система при нагрузке Pί = Pί1 + P2 не разрушится
при разрыве второй связи. После затухания колебаний и дальнейшего
квазистатического возрастания растягивающей силы она разрушится при P1 = σ1 . В этом случае неиспользованная прочность связей в
системе соответствует второй, наиболее слабой связи: PН = σ2.
Найдём соотношение прочностей химических
связей σ1 и σ2 , при
котором разрыв второй связи с меньшим допустимым относительным удлинением ε2 не приводит к
разрушению всей системы. Так как Pί ‹ σ1 , используя
(7), получим: σ1 / σ2 › (c1 / c2 ) + 2.
2. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 = ε2 ;
Если
растягивающая сила вызывает одинаковые удлинения связей в системе, то при
некотором значении жёсткостей связей их прочность по (1) определена однозначно.
Действующая на систему сила P распределяется
в связях пропорционально жёсткостям, при этом
ε1 = ε2 .
Достижение допустимых относительных удлинений в обеих связях происходит
одновременно. В этом случае прочность системы из двух связей равна сумме
прочностей обеих связей: P = P1 + P2 = σ1 + σ2 . Прочность обеих связей используется полностью, то
есть PН = 0.
3. c1 › c2 , σ1 › σ2 ε1 ‹ ε2 ;
Так как
ε1 ‹ ε2 , раньше
произойдёт разрыв первой связи с большей жёсткостью и прочностью. Действующая
на систему в момент разрыва первой связи растягивающая сила Pί =
P1 + Pί2 . Так как
по условию P1 › P2 ,
то Pί › P2 , то
есть даже статическая сила, действующая после разрыва первой связи на вторую,
разрывает её. Неиспользованная прочность связи в системе будет:
PН = (ε2 –
ε1 ) c2 = (σ2 c1 – σ1 c2 )/ c1 .
4. c1 › c2 , σ1 = σ2 ε1 ‹ ε2 ;
При
ε1 ‹ ε2 раньше произойдёт разрыв первой связи. В этот
момент действующая на систему сила Pί = P1 + Pί2 . Так как P1 = σ1 , то Pί › σ2 , то есть даже
статическая сила Pί , действующая
на систему после разрыва первой связи, приводит к её разрушению.
Неиспользованная прочность второй связи в системе будет такой же, как в случае
3.
5. c1 › c2 , σ1 ‹ σ2 ε1 ‹ ε2 ;
Разрушение системы начнётся с разрыва первой
связи. По аналогии со случаем 1 при разрыве первой связи на вторую действует
сила Pί = 2P1 + Pί2 , при этом возможны два случая:
а) Если
Pί › σ2 , произойдёт разрушение системы при растягивающей
силе Pί . Неиспользованная прочность связи в системе будет
такой же, как в случаях 3 и 4.
б) При
Pί ‹ σ2 система не
разрушается при растягивающей силе Pί . Её разрушение произойдёт лишь при нагрузке P2 = σ2 . Неиспользованная прочность будет PН = σ1 .
6. c1 = c2 , σ1 › σ2 ε1 › ε2 ;
В системе с равной жёсткостью химических
связей допустимое удлинение на растяжение раньше достигается во второй связи.
а) Если действующая на систему сила Pί = Pί1 + P2 больше
прочности первой связи, система разрушается под действием статической силы Pί .
Неиспользованная прочность
связи в системе будет:
PН = (ε1 – ε2 ) c = σ1 – σ2 .
б) Если
Pί ‹ σ1 , система разрушится при P1 = σ1 . Неиспользованная прочность связи в системе PН = σ2 .
7. c1 = c2 = c, σ1 = σ2 = σ ε1 = ε2 .
Это условие идентичности механических
характеристик связей в системе. Разрыв их происходит одновременно при
растягивающей силе P = 2σ.
Неиспользованная прочность при этом PН = 0.
Таким образом, в зависимости от механических
характеристик химических связей в системе из двух связей разрушающее усилие,
выраженное через сумму прочностей связей, зависит от величины неиспользованной
прочности связи. Разрушающее усилие будет:
P = σ1 + σ2 – PН .
В случаях 2 и 7 PН = 0, то есть
прочность связей при растяжении до разрушения используется полностью. Однако,
случай 2, когда при разных прочностях и
жёсткостях относительные удлинения одинаковы, является частным. Вероятность
существования таких связей мала. Случай
7 относится к абсолютно упругим твёрдым телам с идентичными химическими
связями. Сила, необходимая для разрушения системы с такими связями будет:
P = σ1 + σ2 .
В системе с механическими
характеристиками, соответствующими случаям
1-б-2, 5-б, 6-б полностью не
используется прочность связи PН ,
которая разрывается в первую очередь. Положим, раньше разрывается вторая связь.
Тогда PН = σ2 и прочность системы при растяжении равна
прочности одной первой связи P = σ1 .
В случаях
1-а, 1-б-1, 3, 4, 5 полностью не используется
прочность связи, которая остаётся в системе после разрыва одной из связей. Если
положить, что раньше разрывается вторая связь, то неиспользованная прочность
первой связи будет:
PН = σ1 – σ2 (c1 / c2 ).
Система будет разрушаться при
действующей силе:
P = σ1 + σ2 – PН = σ2 [1 + (c1 / c2 )]
Для случая
6-а, когда PН = σ1 – σ2 , система разрушится при растягивающей силе:
P = σ1 + σ2 – PН = 2 σ2 .
Из анализа разрушения системы, состоящей
из двух химических связей, сформулируем основные ВЫВОДЫ:
1. Разрыв химических связей с
отличающимися механическими характеристиками в абсолютно упругом теле при
квазистатическом нагружении является динамическим процессом.
2. В системе из двух химических связей при
разрыве одной из них на вторую дополнительно действует растягивающая сила,
максимальная величина которой равна удвоенному значению силы, разрывающей
первую связь.
3. Наиболее полно используется прочность
связей в системе, состоящей из идентичных химических связей. Если система
состоит из различных по механическим параметрам химических связей, прочность её
всегда ниже суммы прочностей связей.
4. Повышение прочности системы, состоящей
из связей с отличающимися механическими характеристиками, можно достичь путём
получения в твёрдом абсолютно упругом теле таких связей, которые образуют
систему с минимальной неиспользованной прочностью связей.
5. Механизм разрыва различных по
механическим характеристикам связей указывает, что прочность упругих твёрдых
тел на разрыв нельзя характеризовать как сумму прочностей химических связей в
поперечном сечении тела.
ЛИТЕРАТУРА
1. С.П.Стрелков. Механика,
изд. 3, 426. Наука, М., 1975.
30.01.1979
Публикация 12.01.2012